درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی
درس 2: ریشه nاُم و توان گویا
تاکنون با مفهوم توانهای صحیح اعداد و نحوهٔ ریشهگیری دوم و سوم آنها آشنا شدهاید.
فعالیت زیر به شما کمک میکند تا ضمن مرور آنچه تاکنون دربارهٔ اعداد تواندار و ریشههای دوم و سوم اعداد یاد گرفتهاید، با مفهوم ریشههای چهارم، پنجم و... اعداد حقیقی و نحوهٔ محاسبه آنها آشنا شوید.
فعالیت (صفحه 86 تا 88 کتاب درسی)
1) حاصل عبارتهای زیر را بهدست آورید.
${4^3} = $
${(2)^{ - 7}} = $
${(\frac{2}{5})^4} = $
${73^1} = $
${( - 3)^6} = $
$ - {3^6} = $
${(0/01)^5} = $
${(1\frac{1}{2})^0} = $
2) الف- مانند نمونه، حاصل هر یک از عبارتهای زیر را بهصورت عدد تواندار بنویسید و در جدول در جای مناسب قرار دهید. ($m$ و $n$ اعداد صحیح و $a$ و $b$ اعداد حقیقی مخالف صفرند)
${( - 36)^7} \div {9^7} = $
${(2/1)^{11}}$ ${(2/1)^6} \times (\frac{{21}}{{10}}) \times {(2\frac{1}{4})^4} = $
${( - 4)^3} \times {( - 5)^3} = $
${(\frac{4}{7})^5} \div {(\frac{4}{7})^8} = $
${({10^6})^8} = $
| ${(2/1)^6} \times (\frac{{21}}{{10}}) \times {(2\frac{1}{{10}})^4} = {(2/1)^{11}}$ | ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ |
| $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$ | |
| ${a^m}.{b^m} = {(ab)^m}$ | |
| ${( - 36)^7} \div {9^7} = $ | $\frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = {(\frac{a}{b})^m}$ |
| ${({a^m})^n} = {a^{mn}}$ |
ب- مانند نمونه، برای هر یک از رابطهها یا مثالهای زیر، رابطه یا مثال متناظر بنویسید.
| ${5^7} \times {5^8} = {5^{7 + 8}} = {15^{15}}$ | ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$ |
| ${9^{10}} \div {9^6} = {9^{10 - 6}} = {9^4}$ | |
| ${a^m}.{b^m} = {(ab)^m}$ | |
| $\frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = {(\frac{a}{b})^m}$ | |
| ${({2^3})^4} = {2^{3 \times 4}} = {2^{12}}$ |
3) همانطور که میدانید، اگر $a$ یک عدد حقیقی مثبت باشد، $\sqrt a $ و $ - \sqrt a $ ریشههای دوم عدد $a$ هستند. بهعبارت دیگر، ریشههای دوم عدد $a$ همان ریشههای معادلهٔ درجهٔ دوم ${x^2} = a$ هستند. برای مثال، ریشههای دوم عدد 16 ریشههای معادلهٔ ${x^2} = 16$ میباشند و چون ${4^2} = 16$ و ${( - 4)^2} = 16$ پس 4 و 4- یا $\sqrt {16} $ و $ - \sqrt {16} $ ریشههای دوم عدد 16 هستند. همچنین، ریشهٔ سوم عدد حقیقی مانند $a$، ریشهٔ معادلهٔ ${x^3} = a$ است. برای مثال، ریشهٔ سوم عدد 27، ریشهٔ معادلهٔ ${x^3} = 27$ است که برابر 3 میباشد.
با همین استدلال، ریشهٔ پنجم عدد 32-، پاسخ معادلهٔ ${x^5} = - 32$ است که برابر ــــــــ و ریشههای ششم عدد 64 ، ریشههای معادلهٔ ${x^6} = \_\_\_\_\_\_\_$ هستند که برابر $ + 2$ و $ - 2$ میباشند.
جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید.
| عدد ($a$) | 64 | 64- |
| ریشههای چهارم | $\root 4 \of {64} , - \root 4 \of {64} $ | وجود ندارد |
| $\root 4 \of a $ | $\root 4 \of {64} $ | وجود ندارد |
| ریشه پنجم | $\root 5 \of {64} $ | $\root 5 \of { - 64} $ |
| $\root 5 \of a $ | ||
| ریشههای ششم | ||
| $\root 6 \of a $ | ||
| ................................. | ||
| ................................. |
در حالت کلیتر، دربارهٔ ریشههای $n$اُم $(n \in {\Bbb N})$ عددی مانند $a$ میتوان گفت:
| $ = \root n \of a \,,\, - \root n \of a $ ریشهٔ $n$اُم $a$ | $n$ زوج باشد | $a \geqslant 0$ |
| $ = \root n \of a $ ریشهٔ $n$اُم $a$ | $n$ فرد باشد | |
| ریشه ندارد | $n$ زوج باشد | $a \lt 0$ |
| $ = \root n \of a $ ریشهٔ $n$اُم $a$ | $n$ فرد باشد |
کار در کلاس (صفحه 88 تا 89 کتاب درسی)
1) با توجه به جدول بالا، مانند نمونه برای هر یک از موارد خواسته شده مثالی بیاورید و آن را حل کنید. مقدار تقریبی هر یک از مثالها را میتوانید به کمک ماشین حساب بهدست آورید.
$\root 8 \of {25} \simeq 1/495\,,\, - \root 8 \of {25} \simeq - 1/495$ $ = $ ریشههای 8اُم عدد $a = 25\,,\,n = 8\, \Rightarrow 25$ $n:$ زوج است و $a \geqslant 0$
$n:\,a = \,\,\,\,\,\,\,\,,n = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $ فرد است و $a \geqslant 0$
$n:\,a = \,\,\,\,\,\,\,\,,n = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $ زوج است و $a \lt 0$
$n:\,a = \,\,\,\,\,\,\,\,,n = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow $ فرد است و $a \lt 0$
2) با توجه به اینکه $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$ و $\root 3 \of {{a^3}} = a$، این رابطه در حالت کلی نیز برای هر $n \geqslant 2$ برقرار است؛ یعنی:
برای مثال، $ = \left| { - 15} \right| = 15$ $\root {10} \of {{{( - 15)}^{10}}} $ و $ = - \frac{8}{3}$ $\root 5 \of {{{( - \frac{8}{3})}^5}} $ ، همچنین $ = \_\_\_\_\_\_\_\_$ $\root 4 \of {{{( - 3)}^4}} $ و $ = 5$ $\root {12} \of {{{(\,\,\,\,\,\,)}^{12}}} $
توانهای گویا
سهامداران یک شرکت تولیدکنندهٔ محصولات فرهنگی از مدیرعامل این شرکت خواستند که جهت برنامهریزی برای توسعهٔ شرکت گزارش عملکرد شرکت طی سالهای قبل را ارائه کند. مدیرعامل در جلسهٔ ارائهٔ گزارش اعلام کرد که طی سالهای قبل، سود سالانهٔ شرکت 20 درصد بوده است و پیشبینی کرد که این سود در سالهای آینده نیز محقق شود.
اگر سرمایهٔ شرکت را 100 میلیون تومان، سود سالانهٔ آن را % 20 و میزان درآمد را در تمام مدت یک سال، یکسان در نظر بگیریم، سهامداران شرکت میتوانند با استفاده از فرمول زیر، سرمایهٔ شرکت را طی سالهای آینده برآورد کنند:
$ = 100 \times {(1/2)^t}$ سرمایهٔ شرکت (بر حسب میلیون تومان)
برای مثال، پس از گذشت یک سال و دو سال به ترتیب میتوان سرمایهٔ شرکت را بهصورت زیر حساب کرد:
$ = 100 \times {(1/2)^1} = 120$ سرمایهٔ شرکت (بر حسب میلیون تومان): پس از گذشت یک سال
$ = 100 \times {(1/2)^2} = 144$ سرمایهٔ شرکت (بر حسب میلیون تومان): پس از گذشت 2 سال
حال اگر سهامداران این شرکت میخواستند سرمایهٔ شرکت را در مدتی کمتر از یک سال، برای مثال 6 ماه بعد (نیم سال) یا 200 روز بعد، محاسبه کنند چگونه میتوانستند این کار را انجام دهند؟
تا اینجا شما با توانهای صحیح و نحوهٔ کاربرد آنها در محاسبات آشنا شدید اما در حل و مدلسازی بسیاری از مسائل واقعی نیاز به استفاده از توانهای غیر صحیح همانند توانهای گویاست. در ادامه، با مفهوم توانهای گویا و نحوهٔ استفاده از آنها در محاسبات آشنا میشوید.
فعالیت (صفحه 90 تا 92 کتاب درسی)
1) پدر محمد زیستشناس است و در آزمایشگاه روی باکتریها کار میکند. روزی او محمد را با خود به محل کارش برد و نوعی باکتری را در زیر میکروسکوپ، نشانش داد که در شرایط آزمایشگاهی در هر ساعت جرم آن 2 برابر میشود. سپس، از محمد خواست که جرم اولیهٔ باکتری را یک گرم در نظر بگیرد و جدول زیر را کامل کند. شما نیز به او در کامل کردن جدول کمک کنید.
| $t$ | $\_\_\_\_\_$ | 7 | 5 | 3 | 2 | 1 | زمان (ساعت) | ||
| ${2^t}$ | $\_\_\_\_\_$ | ${2^6} = 64$ | ${2^4} = 16$ | جرم (گرم) |
محمد پس از کامل کردن جدول، از پدرش پرسید: آیا حتماً باید تا پایان ساعت منتظر شویم و نمیتوانیم جرم باکتری را در کمتر از یک ساعت بهدست آوریم؟ برای مثال، جرم باکتریها پس از نیمساعت چقدر میشود؟
پدر محمد: نظر خودت دربارهٔ جرم باکتریها پس از نیمساعت چیست؟
محمد: مطمئن نیستم ولی حدس میزنم که ${2^{\frac{1}{2}}}$ گرم شود، اما مقدار ${2^{\frac{1}{2}}}$ را نمیدانم چقدر میشود؛ چون تمام توانهایی که ما تاکنون یاد گرفتهایم، توانهای صحیح بودهاند.
پدر محمد بهصورت زیر به او نشان داد که جرم باکتریها پس از نیمساعت چقدر میشود و او را با توانهای گویا آشنا کرد:
پس، جرم باکتریها بعد از نیمساعت ($\frac{1}{2}$ ساعت)، ${2^{\frac{1}{2}}}$ گرم خواهد بود و حدس شما درست است. حالا بعد از پانزده دقیقه، جرم باکتریها چند گرم خواهد شد؟
محمد: چون پانزده دقیقه، $\frac{1}{4}$ ساعت است، پس ${2^{\frac{1}{4}}}$ گرم یا $\root 4 \of 2 $ گرم خواهد بود.
حالا شما مانند محمد جرم باکتریها را در زمانهای داده شده بهدست آورید.
$ = $ پس از 20 دقیقه (ــــــ ساعت) $\root 6 \of 2 $$ = $ $ = $ پس از 10 دقیقه ($\frac{1}{6}$ ساعت)
در این کتاب اگر $a \lt 0$، ${a^{\frac{1}{n}}}$ را تعریف نمیکنیم. برای مثال، عبارتهایی مانند ${( - 2)^{\frac{1}{2}}}$ و ${( - 1)^{\frac{1}{3}}}$ را تعریف نمیکنیم. همچنین، هرجا عبارتهای ${a^{\frac{1}{n}}}$ بیان میشود، $a$ را عددی مثبت در نظر میگیریم.
2) در خصوص توانهای صحیح اعداد دیدید که:
${2^6} = {2^{2 \times 3}} = {({2^2})^3}$
دربارهٔ توانهای گویای اعداد نیز میتوانیم به طریقی مشابه عمل کنیم:
${3^{\frac{2}{3}}} = {3^{2 \times \frac{1}{3}}} = {({3^2})^{\frac{1}{3}}} = \root 3 \of {{3^2}} $
${5^{\frac{5}{4}}} = {7^{5 \times \frac{1}{4}}} = {({7^5})^{\frac{1}{4}}} = \root 4 \of {{7^5}} $
و بهطور کلی، داریم:
اعداد تواندار زیر را به شکل رادیکالی بنویسید.
${5^{\frac{3}{4}}} = $
${6^{\frac{7}{9}}} = $
${12^{ - \frac{2}{{11}}}} = $
${(2\frac{1}{3})^{ - \frac{8}{3}}} = $
${(0/001)^{\frac{{14}}{4}}} = $
روابطی که در ابتدای درس دربارهٔ توانهای صحیح اعداد یادآوری شد، درخصوص توانهای گویا و حقیقی اعداد حقیقی مثبت نیز برقرار است.
کار در کلاس (صفحه 92 تا 93 کتاب درسی)
1) هر یک از عبارتهای توانی زیر را بهصورت رادیکالی و عبارتهای رادیکالی را بهصورت تواندار بنویسید.
${3^{\frac{1}{4}}} = $
${7^{\frac{1}{8}}} = $
$\root 3 \of {25} = $
$\root {12} \of {2/7} = $
${(0/31)^{\frac{1}{2}}} = $
$\root {10} \of 1 = $
2) با توجه به مسئلهٔ بیان شده در ابتدای معرفی توانهای گویا، سرمایهٔ شرکت مذکور را مانند نمونه در هر یک از زمانهای خواسته شده بهدست آورید.
$100 \times {(1/2)^{\frac{1}{2}}} = 100 \times \sqrt {1/2} $ : 6 ماه ($\frac{1}{2}$ سال) بعد
: 3 سال و 6 ماه بعد
: 200 روز بعد
: 1 سال و 2 ماه بعد
3) مانند نمونه، هر یک از اعداد تواندار زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید.
${4^{\frac{1}{2}}} = {({2^2})^{\frac{1}{2}}} = {2^{2 \times \frac{1}{2}}} = 2$
${125^{ - \frac{1}{3}}} = $
${100^{\frac{1}{2}}} = $
${32^{\frac{1}{5}}} = $
4) هر یک از عبارتهای زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید.
${(2 \times 8)^{\frac{1}{4}}} = $
$ - 4{(1000)^{\frac{1}{3}}} = $
${3^{\frac{1}{3}}} \times {3^{\frac{2}{3}}} = $
${7^{\frac{3}{4}}} \times {7^{\frac{5}{4}}} = $
${125^{\frac{2}{3}}} \div {125^{\frac{1}{4}}} = $
${8^{\frac{2}{7}}} \times {(1/5)^{\frac{2}{7}}} = $
5) دانشآموزی $\root 3 \of { - 8} $ را بهصورت ${( - 8)^{\frac{1}{3}}}$ نوشت. توضیح دهید که چرا نمایش $\root 3 \of { - 8} $ بهصورت ${( - 8)^{\frac{1}{3}}}$ نادرست است.
تمرین (صفحه 93 تا 94 کتاب درسی)
1) با استفاده از تعریف توانهای گویا نشان دهید که $\sqrt 5 $، $\root 4 \of {{5^2}} $، $\root 6 \of {{5^3}} $ باهم برابرند.
2) حاصل هر یک از عبارتهای زیر را به سادهترین صورت ممکن بنویسید. ($a$، $m$ و $n$ اعداد حقیقی مثبتاند.)
${3^{\frac{1}{3}}} \times {3^{\frac{1}{4}}} = $
${5^{\frac{1}{4}}} \times {5^{( - \frac{1}{4})}} = $
${8^{\frac{1}{2}}} \times {2^{\frac{1}{2}}} = $
${({2^6})^{\frac{1}{3}}} = $
${(\frac{{{3^4}}}{{{2^6}}})^{\frac{1}{2}}} = $
${\left( {\frac{{{a^{ - \frac{1}{2}}}}}{{{a^{ - \frac{1}{4}}}}}} \right)^{ - 4}} = $
${3^{0/26}} \times {3^{0/74}} = $
${({m^{\frac{3}{4}}}.{n^{\frac{1}{2}}})^2}{({m^2}{n^3})^{\frac{1}{2}}} = $
3) در هر یک از تساویهای زیر، مقدار $x$ را مشخص کنید.
${8^x} \times {9^5} = {72^5}$
${(0/36)^4} \times (0/{36^x}) \times {(0/36)^{ - 6}} = {(0/36)^7}$
${({3^x})^6} = \frac{1}{{{3^2}}}$
$\frac{{{x^5} \times {{15}^3}}}{{{3^2} \times {3^5} \times 3}} = {5^8}$
4) همانطور که میدانید، حجم کرهای به شعاع $r$ با استفاده از فرمول $v = \frac{4}{3}\pi {r^3}$ ($v$ حجم کره) بهدست میآید.
الف) توضیح دهید که چگونه میتوان با استفاده از مفهوم ریشهگیری و توانهای گویا، شعاع کرهای به حجم $v$ را از فرمول زیر بهدست آورد.
$r = {(\frac{{3v}}{{4\pi }})^{\frac{1}{3}}}$
ب) شعاع این تانکر کرهای شکل را که حجم آن $\frac{{32\pi }}{3}$ است، بهدست آورید.
5) اگر $D$ قطر جعبهٔ زیر باشد، اندازهٔ آن از طریق تابع $D = {({L^2} + {W^2} + {H^2})^{\frac{1}{2}}}$ ($L$ طول، $W$ عرض و $H$ ارتفاع جعبه) بهدست میآید.
الف) با توجه به شکل، اندازهٔ $D$ را بهدست آورید.
ب) اگر اندازهٔ $L = W = H = 1m$ باشد، اندازه $D$ را بهدست آورید.
